galat

ANALISI GALAT DAN TAYLOR

Makalah

Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur

Mata Kuliah : Metode Numerik

Di Susun Oleh:

Kelompok 1

Ahmad Farid

Fatmawati

Rahmawati Tsoraya

Zahtotun Niswah

TARBIYAH/MATEMATIKA-D/SEMESTER 7

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI CIREBON

2012

BAB I

PENDAHULUAN

1.    Latar Belakang

Prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari metode numerik adalah matematika.Matematika adalah ilmu dasar, jadi anda diharapkan sudah memiliki pengetahuan mengenai konsep fungsi, geometri, konsep kalkulus seperti tunanan dan integral, dan sebagainya. Tidak paham terlalu dalam tidak apa, yang penting anda mengerti.

Banyak teorema matematika yang dipakai di sini. Dari sekian banyak teorema tersebut, ada satu teorema yang menjadi kakas (tools) yang sangat penting dalam metode numerik, yaitu teorema deret Taylor. Deret Taylor adalah kakas yang utama untuk menurunkan suatu metode numerik.Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor.

Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentukny
a kompleks dapat
disederhanakan menjadi fungsi hampiran dalam bentuk fungsi polinomial yanglebih sederhana.Fungsi polinomial lebih mudah dipahami kelakuannya.Apabila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsiyang sesungguhnya, maka akan kita dapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati).Tetapi bila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsihampiran, maka akan kita dapatkan hasil solusi hampiran (solusi pendekatan).Perbedaan antara solusi eksak dan solusi hampiran terletak pada adanyagalat pada solusi hampiran.Galat pada solusi numerik harus dihubungkandengan seberapa teliti polinomial dalam menghampiri fungsi yangsesungguhnya. Biasanya dalam menghampiri fungsi yang sesungguhnya, orangmenggunakan apa yang disebut dengan deret Taylor.

Pada bagian yang lain, kita akan membahas konsep galat.Solusi yang diperoleh secara numerik adalah nilai hampiran dari solusi sejati.Ini berarti terdapat galat (error) pada solusi hampiran tersebut. Pada makalah ini kamiakan menjelaskan konsep galat, cara mengukur galat, penyebab galat. perambatan galat, dan ketidakstabilan perhitungan akibat galat.

BAB II

DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

A.      Deret Taylor

Kebanyakan dari metode-metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi ke dalam bentuk polinom.Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling mudah dipahami kelakuannya.Kalau perhitungan dengan fungsi yang sesungguhnya menghasilkan solusi sejati, maka perhitungan dengan fungsi hampiran menghasilkan solusi hampiran.bahwa solusi numerik merupakan pendekatan (hampiran) terhadap solusi sejati, sehingga terdapat galat sebesar selisih antara solusi sejati dengan solusi hampiran. Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya.Alat yang digunakan untuk membuat polinom hampiran adalah Deret Taylor.

B.       Definisi Deret Taylor

Sebuah fungsi dapat diekspansikan menjadi polinomial orde ke-n yang dikenal sebagai deret Taylor. Diantara semua fungsi, polinom merupakan yang paling mudah untuk dievaluasi, karena hanya menyangkut tiga operasi hitungan: penambahan, pengurangan, dan perkalian. Ini alasannya mengapa kita menggunakan polinom untuk mengaproksimasi fungsi-fungsi lainnya. Jika polinom linear memberikan suatu aproksimasi tertentu terhadap , seharusnya kita mengharapkan polinom kuadrat (dengan grafik melengkungnya) akan lebih baik, polinom kubik akan lebih baik lagi, dan seterusnya. Sasaran kita adalah menemukan deret orde n yang mengaproksimasi  secara paling “baik”. Pertama kita tinjau kasus kuadrat. Polinom linear disebut Deret Taylor Orde 1 pada untuk , menurut matematikawan Inggris Brook Taylor (1685-1731), kita dapat mengharapkan merupakan suatu aproksimasi yang baik terhadap  hanya didekat .

Suatu pengamatan penting mengenai kasus linear adalah bahwa f dan aproksimasinya , seperti halnya juga turunan-turunannya  dan , bersesuaian pada . Untuk perumusan umum bagi deret kuadrat , kita tekankan tiga kondisi, yaitu:

                                                     

Deret kuadrat unik yang memenuhi kondisi-kondisi ini (Deret Taylor orde 2) adalah:

Seperti yang terlihat, aproksimasi kuadrat yang berpadanan adalah:

Andaikan f dan semua turunannya, f’, f”,f’”, ..., terus menerus di dalam selang [a-r, a+r]. Misalkan a Î[a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar a (Gambar 1) dan x Î[a, b], f(x)dapat diperluas (diekspansi) ke dalam Deret Taylor:

(Gambar 1) Nilai-nilai x disekitar

Contoh 1

Carilah  pada  untuk dan gunakan untuk mengaproksimasi ln (0,9) dan ln(1,5).

Penyelesaian:

Karena  , , maka:

dan , karenanya  akibatnya

Sehingga,

dan

Aproksimasi ini seharusnya dibandingkan dengan nilai-nilai empat decimal yang benar yaitu -0,1054 dan 0,4055. Seperti apa yang diharapkan, aproksimasi ini jauh lebih baik pada kasus yang pertama, karena 0,9 lebih dekat ke 1 dari pada 1,5 ke 1.

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar  = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin orde n, nama ini untuk menghormati matematikawan Scotlandia Colin Maclaurin (1698-1746) yang merapakan deret Taylor baku. Deret ini memberikan aproksimasi yang sahih dekat  = 0, yakni:

Contoh 2

Cari deret Maclaurin orde n untuk dan . Kemudian hitung nilai  dan dengan menggunakan n = 4

Penyelesaian:

Tabel perhitungan turunan

Pada			Pada
		1		1
		1		0
		1		-1
		1		0
		1		1
……..	……….	………	……….	……….

Diperoleh bahwa:

Jadi dengan menggunakan n = 4 dan x = 0,2 kita peroleh:

Hasil-hasil ini seharusnya dibandingkan dengan nilai tujuh posisi yang benar yaitu 1,2214028 dan 0,9800666

C.      Analisis Galat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik.Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Kita harus memahami dua hal: (a) bagaimana menghitung galat, dan (b) bagaimana galat timbul.

Misalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati , maka selisih:

            e =  –                                                                                                        

disebut galat. Sebagai contoh, jika - 10.5 adalah nilai hampiran dari a - 10.45, maka galatnya adalah e= -0.01. Jika tanda galat (positif atai negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefinisikan sebagai:

            ½e½=½ - ½                                                                                                

Sayangnya, ukuran galat ekurang bermakna sebab ia tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Sebagai contoh, seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 100 – 99 = 1 cm. Anak yang lain melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10 cm, sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat pengukuran sama-sama bernilai 1 cm, namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak ada informasi mengenai panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat ini, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

Galat relatif didefinisikan sebagai:

                                                                                                                        
atau dalam persentase:

                                                                                                         

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinumakun juga galat relatif sejati.Dengan demikian, pengukuran panjang kuwat mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0.01, sedangkan pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0.1.

Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati , karena itu galat eseringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran:

                                                                                                                      

Contoh 3

Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran.

Penyelesaian:

galat = 10/3 – 3.333 = 10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0.000333...

galat mutlak =10.000333... 1 = 0.000333...

galat relatif = (l/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0.0001

galat relatif hampiran = (l/3000)/3.333 = 1/9999

Galat relatif hampiran yang dihitung masih mengandung kelemahan sebab nilai etetap membutuhkan pengetahuan nilai (dalam praktek kita jarang sekali mengetahui nilai sejati ). Oleh karena itu, perhitungan galat relatif hampiran menggunakan pendekatan lain. Pada perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan lelaran (iteration), e_RAdihitung dengan cara:

                                                                                                          

yang dalam hal ini x_r+1adalah nilai hampiran lelaran sekarang dan x_radalah nilai hampiran lelaran sebelumnya. Proses lelaran dihentikan bila:

            ½e_RA½<e_S

yang dalam hal ini e_Sadalah toleransi galat yang dispesifikasikan. Nilai e_Smenentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai e_S, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya. Contoh 2.5 mengilustrasikan hal ini.

Contoh 4

Misalkan ada prosedur lelaran sebagai berikut:

                  r = 0, 1,2,3, …..

Lelaran dihentikan bila kondisi ½e_RA½<e_S,dalam hal ini e_Sadalah toleransi galat yang diinginkan. Misalkan dengan memberikan x₀= 0.5, dan e_S = 0.00001 kita memperoleh runtunan:

            x₀ = 0.5

            x₁ = 0.4791667            ; ½e_RA = (x₁ – x₀)/x₁        ½ =  0.043478 >e_S

            x₂ = 0.4816638            ; ½e_RA = (x₂ – x₁)/x₂        ½ =  0.0051843 >e_S

            x₃ = 0.4813757            ; ½e_RA = (x₃ – x₂)/x₃        ½ =  0.0005984 >e_S

            x₄ = 0.4814091            ; ½e_RA = (x₄ – x₃)/x₄        ½ =  0.0000693 >e_S

            x₅ = 0.4814052            ; ½e_RA = (x₅ – x₄)/x₅        ½ =  0.0000081 >e_S

Pada lelaran ke-5, ½e_RA½<e_S sudah terpenuhi sehingga lelaran dapat dihentikan.

D.      Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik:

1.    Galat pemotongan (truncation error)

2.    Galat pembulatan (round-off error)

Selain kedua galat ini, masih ada sumber galat lain, antara lain:

a.      Galat eksperimental, yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur, dan sebagainya.

b.      Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu (bug), dan proses penghilangan galat ini dinamakan penirkutuan (debugging).

1)      Galat Pemotongan

Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak.Maksudnya, ekspresi matematik yang lebih kompleks “diganti” dengan formula yang lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergamung pada metode komputasi yang digunakan untuk pengliampiran sehingga kudang-kadang ia disebut juga galat metode. Misalnya, turunan pertama fungsi f di x_i,dihampiri dengan formula:

yang dalam hal ini h adalah lebar absis x_i+1 dengan x_i.Galat yang ditimbulkan dari penghampiran turunan tersebut merupakan galat pemotongan.

Istilah “pemotongan” muncul karena banyak metode numerik yang diperoleh dengan penghampiran fungsi menggunakan deret Taylor. Karena deret Taylor merupakan deret yang tak-berhingga, maka untuk penghampiran tersebut deret Taylor kita hentikan/potong sampai suku orde tertentu saja. Penghentian suatu deret atau runtunan langkah-langkah komputasi yang tidak berhingga menjadi runtuaan langkah yang berhingga itulah yang menimbulkan galat pemotongan.

Contohnya, hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0:

Deret Taylor fungsi cos(x)sebenarnya tidak berhingga, namun untuk keperluan praktis, deret tersebut kita potong sampai suku orde tertentu, misalnya sampai suku orde n = 6 seperti pada contoh di atas. Kita melihat bahwa menghampiri cos(x)dengan deret Taylor sampai suku berderajat enam tidak memberikan hasil yang tepat. Galat pada nilai hampiran diakibatkan oleh pemotongan suku-suku deret. Jumlah suku-suku selanjutnya setelah pemotongan merupakan galat pemtongan untuk cos(x).Kita tidak dapat menghitung berapa persisnya galat pemtongan ini karena jumlah seluruh suku-suku setelah pemotongan tidak mungkin dapat dihitung. Namun, kita dapat menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus suku sisa:

Pada contoh cos(x) di atas,

Nilai R_nyang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yang mungkin dari ½R_n½ untuk c dalam selang yang diberikan itu [PUR84], yaitu:

Contoh komputasi lain yang menghasilkan galat pemotongan adalah perhitungan dengan menggunakan skema lelaran. Sayangnya, tidak seperti deret Taylor, galat pemotongan pada perhitungan dengan skema lelaran tidak ada rumusnya.

Galat pemotongan pada deret Taylor dapat dikurangi dengan meningkatkan orde suku-sukunya, namun jumlah komputasinya menjadi lebih banyak. Pada metode yang menerapkan skema lelaran, galat pemotongan dapat dikurangi dengan memperbanyak lelaran.Hal ini ditunjukkan pada Contoh 2.5 dengan memberikan nilai e_Syang sekecil mungkin.

Contoh 5

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x₀ = 1 untuk menghampiri 1n(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat.

Penyelesaian:

Tentukan turunan fungsi f(x) = 1n(x) terlebih dahulu:

            f(x) = 1n(x)                  ®f(1) = 0

            f’(x) = 1/x                     ®f’(1) = 1

            f”(x) = -1/x²                  ®f”(1) = -1

            f’”(x) = 2/x³                  ®f’”(1) = 2

            f⁽⁴⁾(x) = -6/x⁴                 ®f⁽⁴⁾(1) = -6

            f⁽⁵⁾(x) = 24/x⁵                ®f⁽⁵⁾(c) = 24/c⁵

Deret Taylornya adalah:

1n(x) = (x – 1) - (x – 1)²/2 + (x – 1)³/3 – (x – 1)⁴/4 + R₄(x)

dan

1n(0.9) = -01. – (0.1)²/2 + (-0.1)³/3 - (-0.1)⁴/4 + R₄(x) = -0.1053583 + R₄(x)

juga

Dan nilai Max ½24/c⁵½ di dalam selang 0.9 <c <1 adalah pada c = 0.9 (dengan  mcndasari pada fakta bahwa suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil), sehingga:

           

Jadi 1n(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034.

Contoh 6

Deret Taylor dapat digunakan untuk menghitung integral fungsi yang sulit diintegralkan secara analitik (bahkan, adakalanya tidak mungkin dihitung secara analitik). Hitunglah hampiran nilai secaranumerik, yaitu fungsi f(x)=dihampiri dengan deret Maclaurin orde 8.       

Penyelesaian:

Deret Maclaurin orde 8 dari fungsi adalah:

Dengan demikian, maka:

           

           

2)      Galat Pembulatan

Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal ini komputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalam komputer.,Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan.Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666... tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat.Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666... di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 -0.166667 = -0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya 1/10 = 0.000110011001100110011 00110011...₂ direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas.

DAFTAR PUSTAKA

http://www.carapedia.com/definisi_galat_dan_taylor_info499_html. Donwload: Monday, 10 Sept 2012 at 01.36 pm

http://www.wikipedia.com/pengertian_deret_taylor_jk0042_html. Donwload: Monday, 10 Sept 2012 at 02.31 pm

untuk lebih jelasnya silahkan klik www.iaincirebon.ac.id